TRAZOS

AÑO II -- VOL II

DICIEMBREAGOSTO2017

ISSN 2591-3050

¿ES LA MATEMÁTICA REALMENTE UN JUICIO SINTÉTICO A PRIORI?

UNA REVISIÓN DESDE LA

PROPUESTA KANTIANA

Mauricio Vargas Abarca

Resumen de los contenidos de la Crítica de la razón pura a utilizar

no todo viene de la misma (Kant, 1997, B1); de modo que existen objetos exter- nos que despiertan en nosotros la facultad de conocer, por lo tanto ningún conocimiento es anterior, temporalmente, a la experiencia. Así pues la tarea que no puede despacharse con facilidad es la de saber si existe entonces, aún con ello, un conocimiento que no venga de la experiencia ni de las impresio-

nes de los sentidos, esto es, que sea a priori.

Hay que hacer diferencia de que cuando se quiere decir a priori, no se hace alusión a la no participación de ésta o aquella experiencia, de manera directa, para poder tener un conocimiento de una acción X o un objeto Y. Por tanto una persona B pudo haber presenciado X y transmitirlo de tal manera que: a una persona A le llegue con cierta a prioridad en un futuro, por lo tanto tendría un conocimiento de X sin experimentar X. No obstante, dice Kant que este tipo de juicios en realidad no son puros. Por ejemplo, la proposición “«Todo cambio tiene su causa» es a priori, pero no pura, ya que el cambio es un concepto que sólo puede extraerse de la experiencia” (Kant, 1997, B3).

Escuela de Filosofía, Univer- sidad de Costa Rica.

Contacto:

abarcamauricio9415@gmail.com

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Es necesario saber diferenciarlos: el conocimiento a posteriori no me dice que lo experimentado sea necesariamente de esa manera y que no pueda serlo de otra, por ello no puede emitir juicios universales que no sea una simple extensión de validez. Por otro lado el a priori es simultáneamente necesario además de que no admite ninguna excepción en sus juicios. La ma- temáticas son un ejemplo perfecto de lo lejos que puede llegar el conocimien- to a priori.

Existen, según Kant, juicios sintéticos y juicios analíticos. Los primeros remiten a la experiencia y son ampliativos en cuanto al conocimiento, de manera que el predicado añade algo que no estaba contenido de ninguna manera en el sujeto, la unión de éste predicado hacia ese sujeto se justifica mediante la experiencia misma, son siempre contingentes. En cuanto a los segundos el predicado no añade absolutamente nada que no esté en el sujeto, se limita a descomponer el concepto en conceptos parciales para poder hacer claro lo que en principio era confuso. No se necesita nada externo para poder comprobar su verdad,

baste con lo que ya se tiene mientras el predicado no contradiga lo que sostiene129 el sujeto, son además siempre universales y necesarios (Kant, 1997, B10- B19).

Una tercera clase de juicios son: sintéticos a priori, estos juicios tienen la uni- versalidad y necesariedad de los juicios analíticos, no se recurre a la experiencia pero aumentan la generalidad o conocimiento (Kant, 1997, B13). Kant considera que en la ciencia natural existen juicios de éste tipo e igualmente, al menos como primera tentativa, en la metafísica, pero es en la matemática donde se dan más perfectamente, siendo así que todos los juicios matemáticos son sinté- ticos a priori (Kant, 1997, B14-B16).

Los juicios sintéticos a priori en la matemática ¿Son realmente sintéticos?

La Crítica de la Razón Pura no logra convencerme del todo esto que Kant llama: juicios sintéticos a priori en la matemática pura1 (Kant, 1997, B15). Ya de todos modos había tenido dificultad para asimilar un poco la procedencia indepen- diente en la experiencia de lo que son los números, no obstante, puedo decir sin duda que los números no son empíricos. Los números considerados en sí mismo no son parte ni propiedad del objeto, son cosas que agregamos desde

¹Con el fin de delimitar la cuestión no he de ocuparme de la parte de geometría a la que Kant alude en su texto.

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aceptados (Bunge, 1960, p. 8).

Se puede intentar ver esto con una demostración sobre la propiedad de absorción del cero:

Teorema: Para cualquier número real “a” siempre se cumple que: 0.a=0 (Hum- berto Méndez, 2000, p.4-5)

(i) Por ser 0 un elemento neutro se da que 0 + 0 = 0

(ii) Por propiedad de igualdad tenemos que a(0 + 0) = a0

(iii) Por propiedad distributiva, sabemos que a(0 + 0) = a0 + a0 (iv) De (ii) y (iii) se deduce que a0 + a0 = a0

(v) Por la existencia del elemento inverso de la suma sabemos que (-a0) y sumado a ambos lados de la igualdad en (iv) se obtiene

(a0 + a0) + (-a0) = a0 + (-a0) = 0

6Entiéndase y permítaseme ésta expresión de manera preliminar, pues más tarde me referiré a ello para intentar despojar la idea de lo que es expansión de conocimiento.

7Expandirse acá entiéndase como una manera de descomponer lo que ya se tenía, en partes para que sea más accesible al entendimiento.

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de manera que no haya una contradicción. Puedo decir que aumenté mi conoci- miento porque añadí un teorema al “itinerario matemático”8 , pero ese teorema no es ajeno a los axiomas establecidos, debe contenerlos para que pueda ser demostrable y por tanto válido. Visto de esta manera, Kant define lo que es un juicio analítico con una relación de sujeto y predicado, de manera que “(…): el predicado B pertenece al sujeto A como algo que está (implícitamente) conteni- do en el concepto A, (…) (Kant, 1997, B10)”.

Entonces A equivaldría al teorema y B serían los postulados, bajo la relación que mencioné en el párrafo anterior, esto es, que una está contenida en la otra por los postulados. Por lo tanto un teorema de matemática pura en aritmética o bien algebraico sería analítico y no sintético como Kant supone (Kant, 1997,

B15-B16). Son los mismos axiomas los que construyen y validan el teorema y digo esto porque en la construcción del teorema no puede salirse de los axiomas pre- vios aceptados, todo está ahí dentro perteneciendo al sujeto, además tienen una identidad innegable, cosa que es característica de los juicios analíticos y no de

los sintéticos (Kant, 1997, A7).132 Dice Kant que para que sea sintético el predicado y el sujeto deben tener un

lazo que no posea identidad (Kant, 1997, A7) y como puede verse, o al menos creo haber mostrado, que en un teorema si puede existir un lazo de identidad. Por lo tanto, en vez de que toda la matemática pura sea sintética a priori, sería: no toda la matemática pura es a sintética a priori, y si existe cuando menos un teorema analítico dentro de la matemática pura ¿cómo puedo asegurarme de que no haya más teoremas de la misma naturaleza?

Yo estoy consciente de que puede suponerse que agregar un postulado o teo- rema más a la matemática es un aumento de conocimiento, pero con todo lo anterior, parece más una manera de decir lo mismo de otra forma, y según lo que el mismo Kant plantea, esto no puede ampliar el conocimiento y por tanto no puede ser sintético, porque no trae nada nuevo fuera de lo que ya tengo, en cuanto se refiere a lo que es analítico (Kant, 1997, B10-B12), lo que tengo son axiomas y de ellos un teorema que los contiene, además que se puede añadir al inventario matemático sin aumentar el conocimiento más que explicarlo. Tam- poco añaden otro tipo de conocimiento (conocimiento real o fáctico), porque su contenido es vacío en cuanto que Formas puras. Al parecer entonces, no toda la matemática es sintética a priori, por lo tanto cabe la posibilidad de que no per- tenezca la matemática a tales juicios y sea solamente analítica.

8Entiéndase lo mismo que para la nota 6.